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Changement de base N

Outil de changement de base et d'écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre. Jusqu'à la base 10, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, au-delà, on utilise d'autres symboles comme des lettres.

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Changement de base N -

Catégorie(s) : Mathématiques,Arithmétique

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Changement de base avancé







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Conversion de Base 10 vers Base N



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Outil de changement de base et d'écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre. Jusqu'à la base 10, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, au-delà, on utilise d'autres symboles comme des lettres.

Réponses aux Questions

Quels sont les symboles utilisés par défaut ?

0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majusculeshref et minusculeshref à partir de la base 37)

Comment convertir d'une base à une autre ?

Un nombre N dans une base n peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base n.

123 = 1*100 + 2*10 + 3*1 = 1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0

Soit un nombre composé des chiffres ci en base b, on obtient un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$ c_n...c_2c_1c_0 = c_n b^n + ... + c_2 b^2 + c_1 b^1 + c_0 b^0 $$

Pour calculer un changement de base, on utilisera généralement la base 10 comme référence, ou comme intermédiaire.

Pour changer de la base 3 à la base 7, généralement on calculera de la base 3 à la base 10, puis de la base 10 à la base 7.

Comment convertir de la base 10 à une base n ?

On utilise l'algorithme suivant pour convertir de la base 10 à une base n :

$$ q_0=n; i=0; \mbox{ while } q_i >0 \mbox{ do } (r_{i+1}= q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 ) $$

Le nombre converti est composé des chiffres ri obtenus (en partant des unités par r1).

123 base 10 se converti en base 7 ainsi :

$$ r_1 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 ; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 $$

$$ r_2 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 ; q_2 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 $$

$$ r_3 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 ; q_3 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 $$

$$ 123_{(10)} = 234_{(7)} $$

Comment convertir d'une base n à la base 10 ?

On utilise l'algorithme suivant pour convertir d'une base n à la base 10 :

$$ N =c_n ; i=n \mbox{ for } i=n-1 \mbox{ to } 0 \mbox{ do } N=N*b+c_i $$

Le nombre N obtenu est écrit dans la base n.

123 en base 7 se converti en base 10 ainsi :

$$ N = 1; $$

$$ N = 1*7+2 = 9 $$

$$ N = 9*7+3 = 66 $$

$$ 123_{(7)} = 66_{(10)} $$

Quelles sont les bases usuelles ?

- base 2 (système binaire) utilisée en informatique

- base 3 (système trinaire)

- base 8 (système octal)

- base 9 (système nonaire)

- base 10 (système décimal)

- base 12 (système duodécimal), pour compter les heures ou les mois

- base 16 (système hexadécimal) utilisée en informatique et les octets

- base 20 (système vigésimal) utilisée par les Mayas et les Aztèques

- base 26href (système alphabétique)

- base 36 (système alphanumérique)

- base 60 (système sexagésimal) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et les Babylonienshref.

- base 62 (système alphanumérique complet)

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