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Conversion en Base N

Outil de changement de base et d'écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre. Jusqu'à la base 10, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, au-delà, on utilise d'autres symboles comme des lettres.

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Conversion en Base N -

Catégorie(s) : Mathématiques,Arithmétique

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Conversion en Base N

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Conversion de Base 10 vers Base N



Outil de changement de base et d'écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre. Jusqu'à la base 10, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, au-delà, on utilise d'autres symboles comme des lettres.

Réponses aux Questions

Quels sont les symboles utilisés par défaut ?

Quand on écrit un nombre en base 10 on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les autres bases, il est d'usage d'utiliser les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majusculeshref et minusculeshref à partir de la base 37)

Comment convertir d'une base à une autre ?

Un nombre \( N \) dans une base \( b \) peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base \( n \).

Le nombre \( N = 123_{(10)} \) (base 10) vérifie l'égalité $$ N = 789 = 7 \times 100 + 8 \times 10 + 7 \times 1 = 7 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 7 \times 10^0 $$

\( N= \)\( c2 \)\( c1 \)\( c0 \)
\( 789 \)\( 7 \)\( 8 \)\( 9 \)

Soit un nombre \( N \) composé de \( n \) chiffres \( { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_2, c_1, c_0 } \) en base \( b \), alors peut l'écrire comme un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$ N_{(b)} = \{ c_{n-1}, ..., c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + ... + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Pour calculer un changement de base, on utilisera généralement la base \( 10 \) comme référence, ou comme intermédiaire.

Pour changer de la base \( 3 \) à la base \( 7 \), généralement on calculera de la base \( 3 \) à la base \( 10 \), puis de la base \( 10 \) à la base \( 7 \).

Comment convertir de la base 10 à une base n ?

On utilise l'algorithme suivant pour convertir de la base \( 10 \) à une base \( n \) :

$$ q_0=n; i=0; \mbox{ while } q_i > 0 \mbox{ do } (r_i = q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 ) $$

Le nombre converti est composé des chiffres \( r_{i=0...n-1} \) obtenus (avec \( r_0 \) le chiffre des unités).

\( N = 123_{(10)} \) (base 10) is converted in base \( 7 \) :

$$ q_0 = 123 \\ r_0 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 \;\;\; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 \\ r_1 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 \;\;\; q_1 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 \\ r_2 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 \;\;\; q_2 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 \\ 123_{(10)} = 234_{(7)} $$

Comment convertir d'une base n à la base 10 ?

Pour convertir un nombre \( N_1 \) écrit en base \( b \) en un nombre \( N_2 \) écrit en base \( 10 \), on va utiliser le fait que le nombre \( N_1 \) soit composé de \( n \) chiffres \( { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_1, c_0 } \) et on utilise l'algorithme suivant :

$$ N_2 = c_{n-1} ; \mbox{ for } ( i=n-2 \mbox{ to } 1 ) \mbox{ do } N_2=N_2 \times b+c_i $$

Le nombre \( N_2 \) obtenu est alors écrit en base \( 10 \).

L'algorithme est équivalent à faire le calcul $$ (( c_{n-1} \times b + c_{n-2} ) \times b + c_{n-3} ) ... ) \times b + c_0 $$

Soit le nombre \( 123_{(7)} \) (en base \( 7 \)), on applique l'algorithme de conversion :

$$ 123 = \{1,2,3\} \\ N = 1 \\ N = 1*7+2 = 9 \\ N = 9*7+3 = 66 \\ N = 123_{(7)} = 66_{(10)} $$

Donc \( 123_{(7)} \) est égal à \( 66_{(10)} \) en base \( 10 \).

Quelles sont les bases usuelles ?

- base 2 (système binaire) utilisée en informatique

- base 3 (système trinaire)

- base 8 (système octal)

- base 9 (système nonaire)

- base 10 (système décimal)

- base 12 (système duodécimal), pour compter les heures ou les mois

- base 16 (système hexadécimal) utilisée en informatique et les octets

- base 20 (système vigésimal) utilisée par les Mayas et les Aztèques

- base 26href (système alphabétique)

- base 36 (système alphanumérique)

- base 60 (système sexagésimal) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et les Babylonienshref.

- base 62 (système alphanumérique complet)

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