Conversion en Base N

La base correspond au nombre de chiffres distincts utilisés pour représenter les nombres (dans un système de numération positionnel).

Un nombre $ N_{(b)} $ écrit en base $ b $ est composé de $ n $ chiffres $ \{ c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_1, c_0 \} $, il peut s'écrire comme un polynôme où les chiffres sont les coefficients et la base $ b $ est la variable :

$$ N_{(b)} = \{ c_{n-1}, \cdots, c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + \cdots + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Pour faire un changement de base (de la base $ b_1 $ vers une autre base $ b_2 $), il sera le plus souvent nécesaire deconvertir d'abord le nombre de la base $ b_1 $ vers la base 10, puis convertir de la base 10 vers la base $ b_2 $.

Il est parfois possible de convertir directement d'une base à une autre sans passer par la base 10, si la base $ b_2 $ est une puissance de la base $ b_1 $ mais elle ne fonctionne pas pour des bases arbitraires.

Pour convertir un nombre $ N $ écrit en base 10 vers une base $ b $, utiliser la méthode des divisions successives :

1 - Diviser $ N $ par $ b $

2 - Noter le reste $ r $ et le quotient $ q $

3 - Répéter les étapes 1 et 2 en remplaçant $ N $ par le quotient $ q $ obtenu jusqu'à obtenir un quotient nul.

4 - Le nombre converti en base $ b $ s'obtient en lisant les restes de la dernière division (chiffre le plus grand) à la première (chiffre des unités).

Pour convertir un nombre $ N_{(b)} $ de la base $ b $ vers la base $ 10 $, la méthode la plus directe est d'utiliser la formule $$ N_{(10)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + \cdots + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Une autre la méthode utilise l'accumulation polynomiale :

1 - Initialiser la conversion en posant $ R = 0 $

2 - Parcourir les chiffres $ c_i $ de gauche à droite et pour chaque chiffre, effectuer : $ R = R \times b + c_i $

3 - Le résultat final $ R $ correspond à la valeur en base 10, $ N_{(10)} = R $

Un nombre en base 10 (ou bases inférieures) s'écrit avec les chiffres 0123456789. Pour les bases supérieures, il est d'usage d'utiliser des lettres, et plus précisément les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ afin d'écrire des nombres jusqu'en base 62.

Les autres bases permettent de simplifier certains calculs ou représentations selon le contexte.

— base 2 (système binaire - base2) utilisée en informatique

— base 3 (système trinaire ou ternaire - base3)

— base 8 (système octal - base8)

— base 9 (système nonaire - base9)

— base 10 (système décimal - base10)

— base 12 (système duodécimal - base12), pour compter les heures ou les mois

— base 16 (système hexadécimal - base16) utilisée en informatique et les octets

— base 20 (système vigésimal - base20) utilisée par la numération Maya (et Aztèque)

— base 26 (système alphabétique - base26)

— base 27 (système alphabétique + caractère spécial - base27)

— base 36 (système alphanumérique - base36)

— base 37 (système alphanumérique + caractère spécial - base37)

— base 60 (système sexagésimal - base60) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et la numération babylonienne.

— base 62 (système alphanumérique complet - base62)

Toutes les bases peuvent être utilisées pour du codage informatique ou tout autre problème mathématique.