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Rang d'une Permutation

Outil pour calculer le rang d'une permutation d'un ensemble. Le rang d'une permutation est le numéro associé à celle-ci dans l'ordre de génération des permutations.

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Rang d'une Permutation -

Catégorie(s) : Mathématiques, Combinatoire

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Outil pour calculer le rang d'une permutation d'un ensemble. Le rang d'une permutation est le numéro associé à celle-ci dans l'ordre de génération des permutations.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que le rang d'une permutation ?

A partir de la liste de toutes les permutations possibles d'un ensemble, il est possible de la trier par ordre croissant. Le rang d'une permutation est la position de celle si dans la liste triée.

Exemple : L'ensemble A,B,C a pour permutations :

0ABC
1ACB
2BAC
3BCA
4CAB
5CBA
, ainsi la permutation BAC est au rang numéro 2 (en commençant à 0)

Comment calculer le rang d'une permutation ?

Comme il semble difficile de lister toutes les permutations lorsqu'il y a beaucoup d'éléments. Il existe une méthode mathématique pour réaliser ce calcul.

Soit une permutation \( P \) dans l'ensemble \( E \) de taille \( t \).

Exemple : La permutation B,A,C dans l'ensemble initial A,B,C de taille \( t = 3 \).

Pour chaque lettre, calculer la position \( p \) dans l'ensemble \( E \), calculer \( s = p \times (t-1)! \) et retirer la lettre dans l'ensemble \( E \) (la taille \( t \) diminue). La somme des \( s \) est le rang de la permutation.

Exemple : B est en position \( 1 \) dans ABC, \( s_B = 1 \times 2! = 2 \)
A est en position \( 0 \) dans AC, \( s_A = 0 \times 1! = 0 \)
C est en position \( 0 \) dans C, \( s_C = 0 \times 0! = 0 \)
BAC est la permutation de rang \( s_B + s_A + s_C = 2 + 0 + 0 = 2 \)

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