Outil pour calculer le rang d'une permutation d'un ensemble. Le rang d'une permutation est le numéro associé à celle-ci dans l'ordre de génération des permutations.
Rang d'une Permutation - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Rang d'une Permutation
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Qu'est ce que le rang d'une permutation ?
A partir de la liste de toutes les permutations possibles d'un ensemble (ou arrangements), il est possible de trier cet index par ordre croissant. Le rang d'une permutation est la position de celle-ci dans la liste triée.
Exemple : L'ensemble A,B,C a pour permutations :
| 0 | ABC |
| 1 | ACB |
| 2 | BAC |
| 3 | BCA |
| 4 | CAB |
| 5 | CBA |
Comment calculer le rang d'une permutation ?
Comme il semble difficile de lister toutes les permutations lorsqu'il y a beaucoup d'éléments. Il existe une méthode mathématique pour réaliser ce calcul.
Soit une permutation $ P $ dans l'ensemble $ E $ de taille $ t $.
Exemple : La permutation B,A,C dans l'ensemble initial A,B,C de taille $ t = 3 $.
Pour chaque lettre, calculer la position $ p $ dans l'ensemble $ E $, calculer $ s = p \times (t-1)! $ et retirer la lettre dans l'ensemble $ E $ (la taille $ t $ diminue). La somme des $ s $ est le rang de la permutation.
Exemple : B est en position $ 1 $ dans ABC, $ s_B = 1 \times 2! = 2 $
A est en position $ 0 $ dans AC, $ s_A = 0 \times 1! = 0 $
C est en position $ 0 $ dans C, $ s_C = 0 \times 0! = 0 $
BAC est la permutation de rang $ s_B + s_A + s_C = 2 + 0 + 0 = 2 $
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