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Identité de Bézout

Outil pour calculer les coefficients de Bezout. L'identité de Bézout prouve qu'il existe des solutions à l'équation a.u + b.v = PGCD(a,b).

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Identité de Bézout -

Catégorie(s) : Mathématiques

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Identité de Bézout

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Calculatrice de l'Identité de Bézout



Outil pour calculer les coefficients de Bezout. L'identité de Bézout prouve qu'il existe des solutions à l'équation a.u + b.v = PGCD(a,b).

Réponses aux Questions

Qu'est ce que l'identité de Bézout ?

L'identité de Bezout est définie ainsi : si \( a \) et \( b \) sont deux entiers relatifs et \( d \) est leur PGCD (plus grand commun diviseur), alors il existe \( u \) et \( v \), deux autres entiers relatifs tels que \( au + bv = d \).

Exemple : \( a=12 \) et \( b=30 \), pgcd \( (12, 30) = 6 \). Il existe plusieurs solutions à \( u \) et \( v \) tels que \( 12u + 30v = 6 \), comme $$ 12 \times -2 + 30 \times 1 = 6 $$

Qu'est ce que sont les coefficients de Bézout ?

Les coefficients de Bézouts sont les valeurs \( u \) et \( v \) trouvées.

Comment calculer les valeurs de l'identité de Bézout ?

Le programme dCode utilise l'algorithme d'euclide étendu. \( a \) et \( b \) sont forcément des entiers positifs non nuls. L'algorithme consiste en une suite de divisions euclidiennes qui permet de trouver les coefficients de Bezout (ainsi que le PGCD).

Comment programmer l'identité de Bézout en Pseudo-code ?

Un code source pour l'identité de Bezout serait similaire à ce pseudo-code:

Initialisation r = a, r' = b, u = 1, v = 0, u' = 0 et v' = 1
Tant que (r' != 0)
q = (entier) r/r'
rs = r, us = u, vs = v,
r = r', u = u', v = v',
r' = rs - q*r', u' = us - q*u', v' = vs - q*v'
Fin tant que
Retourner (r, u, v)

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Questions / Commentaires


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Source : https://www.dcode.fr/identite-bezout
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