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Identité de Bézout

Outil pour calculer les coefficients de Bezout. L'identité de Bézout prouve qu'il existe des solutions à l'équation a.u + b.v = PGCD(a,b).

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Identité de Bézout -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Identité de Bézout

Calculatrice de l'Identité de Bézout




Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que l'identité de Bézout ? (Définition)

L'identité de Bachet-Bezout est définie ainsi : si $ a $ et $ b $ sont deux entiers relatifs et $ d $ est leur PGCD (plus grand commun diviseur), alors il existe $ u $ et $ v $, deux autres entiers relatifs tels que $ au + bv = d $.

Exemple : $ a=12 $ et $ b=30 $, pgcd $ (12, 30) = 6 $, alors il existe $ u $ et $ v $ tels que $ 12u + 30v = 6 $ comme $$ 12 \times -2 + 30 \times 1 = 6 $$

La calculatrice des coefficients de Bezout de dCode ne donne qu'une seule solution, il en existe une infinité.

Qu'est ce que sont les coefficients de Bézout ?

Les coefficients de Bézout sont les valeurs $ u $ et $ v $ trouvées.

Comment calculer les valeurs de l'identité de Bézout ?

Méthode automatique : Utiliser le programme dCode ci-dessus, entrer les entiers $ a $ et $ b $ relatifs non nuls et cliquer sur Calculer.

Méthode manuelle : utiliser l'algorithme d'euclide étendu, qui est une suite de divisions euclidiennes qui permet de trouver les coefficients de Bezout (ainsi que le PGCD).

En initialisant $ u = 1 $, $ v = 0 $, $ u' = 0 $ et $ v' = 1 $, à partir de 2 entiers relatifs $ a $ et $ b $, calculer le quotient $ q $ et le reste $ r $ de la division euclidienne de $ a $ par $ b $

Tant que $ r \neq 0 $, calculer les nouvelle valeurs $ u' \leftarrow u \times q - u' $ et $ u \leftarrow u' $ et changer les valeurs $ a \leftarrow b $ et $ b \leftarrow r $.

Lorsque $ r = 0 $ la dernière valeur de $ b $ est le PGCD et les valeurs $ u $ et $ v $ sont les coefficients de Bézout.

Comment programmer l'identité de Bézout en Pseudo-code ?

Un code source pour l'identité de Bezout serait similaire à ce pseudo-code:

Initialisation r = a, r' = b, u = 1, v = 0, u' = 0 et v' = 1
Tant que (r' != 0)
q = (entier) r/r'
r₂ = r, u₂ = u, v₂ = v,
r = r', u = u', v = v',
r' = r₂ - q*r', u' = u₂ - q*u', v' = v₂ - q*v'
Fin tant que
Retourner (r, u, v)

Code source

dCode se réserve la propriété du code source pour "Identité de Bézout". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Identité de Bézout", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Identité de Bézout" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Identité de Bézout" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android !
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Citer comme source bibliographique :
Identité de Bézout sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 14/06/2024, https://www.dcode.fr/identite-bezout

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