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Fonction de Möbius

Outil pour calculer la valeur de la fonction µ (Mu) de Möbius (ou Moebius) qui a une valeur de –1, 0 ou 1 en fonction de sa décomposition en nombres premiers.

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Fonction de Möbius -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fonction de Möbius

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Calculatrice de Mobius µ(N)


Outil pour calculer la valeur de la fonction µ (Mu) de Möbius (ou Moebius) qui a une valeur de –1, 0 ou 1 en fonction de sa décomposition en nombres premiers.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que la fonction Mu de Mobius ? (Définition)

La fonction \( µ(n) \) dite fonction de Möbius, est définie pour tout entier entier \( n > 0 \) de l'ensemble \( \mathbb{N}* \) dans l'ensemble de 3 valeurs \( \{–1, 0, 1\} \).

\( µ(n) \) vaut \( 0 \) si \( n \) a pour diviseur un carré parfait (autre que 1)

\( µ(n) \) vaut \( 1 \) si \( n \) a pour diviseurs un nombre pair de nombres premiers distincts

\( µ(n) \) vaut \( -1 \) si \( n \) a pour diviseurs un nombre impair de nombres premiers distincts

Comment calculer la valeur de la fonction de Moebius ?

L'image de \( µ(n) \) dépend de la décomposition en nombres premiers de \( n \). Si un nombre premier apparait plusieurs fois dans la décomposition, alors \( µ(n) = 0 \), sinon, si la décomposition a un nombre pair de nombres premiers, alors \( µ(n) = 1 \) et sinon avec un nombre impair de nombres premiers \( µ(n) = -1 \).

Exemple : \( 12 = 2 \times 2 \ times 3 \) donc \( µ(12) = 0 \) car \( 2 \) apparait 2 fois, et donc \( 12 \) est divisible par \( 4 \), un carré parfait

Exemple : \( 1234 = 2 \times 617 \) donc \( µ(12) = 1 \) car la décomposition a 2 nombres premiers distincts (2 est un nombre pair)

Exemple : \( 12345 = 3 \times 5 \times 823 \) donc \( µ(12) = -1 \) car la décomposition a 3 nombres premiers distincts (3 est un nombre impair)

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