Fonction de Möbius

La fonction $ µ(n) $ dite fonction de Möbius, est définie pour tout entier entier $ n > 0 $ de l'ensemble $ \mathbb{N}* $ dans l'ensemble de 3 valeurs $ \{–1, 0, 1\} $.

$ µ(n) $ vaut $ 0 $ si $ n $ a pour diviseur un carré parfait (autre que 1)

$ µ(n) $ vaut $ 1 $ si $ n $ a pour diviseurs un nombre pair de nombres premiers distincts

$ µ(n) $ vaut $ -1 $ si $ n $ a pour diviseurs un nombre impair de nombres premiers distincts

L'image de $ µ(n) $ dépend de la décomposition en nombres premiers de $ n $. Si un nombre premier apparait plusieurs fois dans la décomposition, alors $ µ(n) = 0 $, sinon, si la décomposition a un nombre pair de nombres premiers, alors $ µ(n) = 1 $ et sinon avec un nombre impair de nombres premiers $ µ(n) = -1 $.

Exemple : $ 12 = 2 \times 2 \ times 3 $ donc $ µ(12) = 0 $ car $ 2 $ apparait 2 fois, et donc $ 12 $ est divisible par $ 4 $, un carré parfait

Exemple : $ 1234 = 2 \times 617 $ donc $ µ(12) = 1 $ car la décomposition a 2 nombres premiers distincts (2 est un nombre pair)

Exemple : $ 12345 = 3 \times 5 \times 823 $ donc $ µ(12) = -1 $ car la décomposition a 3 nombres premiers distincts (3 est un nombre impair)