Carré Magique

Un carré magique est une grille carrée de nombres distincts, généralement des entiers, disposés de sorte que la somme de chaque ligne, chaque colonne et des deux diagonales principales soit identique.

Cette valeur commune est appelée la somme magique (ou constante magique).

Dans le cas d'un carré magique standard contenant les entiers de $ 1 $ à $ n^2 $, la constante magique vaut $ M = \frac{n(n^2+1)}{2} $.

Créer un carré magique consiste à organiser des nombres dans une grille carrée de taille $ n \times n $ de façon à respecter la contrainte de somme magique sur chaque ligne, colonne et diagonale.

Les méthodes de construction dépendent de la parité de $ n $ :

— si $ n $ est impair : utiliser une méthode comme celle de Loubère

— si $ n $ est divisible par $ 4 $ (ordre doublement pair) : utiliser des méthodes par symétrie

— sinon (ordre simplement pair) : utiliser des méthodes hybrides basées sur des sous-carrés

Pour un carré magique d'ordre impair (3x3, 5x5, 7x7, …), la méthode la plus classique est celle de Loubère (ou méthode de l'escalier) :

— Placer le nombre $ 1 $ au centre de la première ligne.

— Placer chaque nombre suivant dans la case située en diagonale en haut à droite.

— Si cette position sort du carré, réapparaître du côté opposé.

— Si la case est déjà occupée, placer le nombre directement en dessous de la dernière position remplie.

Pour un carré magique d'ordre doublement pair (4x4, 8x8, …), une méthode courante est celle des diagonales croisées :

— Remplir toutes les cases du carré avec les nombres de $ 1 $ à $ n^2 $ dans l'ordre croissant, de gauche à droite et de haut en bas.

— Diviser le carré en sous-carrés de $ 4 \times 4 $ et tracer les deux diagonales principales de chacun de ces sous-carrés.

— Conserver les nombres qui se trouvent sur ces diagonales à leur position initiale.

— Remplacer tous les autres nombres (ceux qui ne sont pas sur une diagonale) par leur complément à $ n^2 + 1 $ (c'est-à-dire en comptant à rebours depuis $ n^2 $).

Pour un carré magique d'ordre simplement pair (6x6, 10x10, …), la méthode de Strachey est la plus classique :

— Diviser le carré en quatre sous-carrés de taille égale (notés A en haut à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite et D en bas à gauche).

— Remplir chaque sous-carré comme un carré magique d'ordre impair (via la méthode de l'escalier), en utilisant le premier quart des nombres pour A, le deuxième pour B, le troisième pour C et le dernier pour D.

— Échanger certaines cases du côté gauche entre les quadrants A et D, en veillant à décaler l'échange d'une case sur la ligne centrale du sous-carré.

— Échanger un nombre spécifique de colonnes du côté droit entre les quadrants C et B pour équilibrer parfaitement les sommes de l'ensemble.

Résoudre un carré magique consiste à déterminer les valeurs manquantes en respectant les contraintes de somme. Une approche consiste à introduire des inconnues et écrire les équations associées aux lignes, colonnes et diagonales de la matrice obtenue.

Les solutions doivent être des valeurs distinctes et le plus souvent des entiers positifs.

Pour un carré magique contenant les entiers de $ 1 $ à $ n^2 $, la somme magique est fixée et minimale : $ M = \frac{n(n^2+1)}{2} $

Toute tentative d'obtenir une somme plus faible impose l'utilisation de nombres négatifs ou non entiers.

Il n'existe pas de valeur maximale pour la somme magique si les nombres utilisés ne sont pas contraints.

En effet, en multipliant tous les éléments d'un carré magique par une constante $ k $, la somme magique est multipliée par $ k $.

Ainsi, la somme/valeur magique maximale est donc l'infini.

Le nombre de carrés magiques dépend de l'ordre $ n $.

— ordre $ 3 $ : il existe $ 1 $ carré magique fondamental (et $ 8 $ avec rotations et symétries)

— ordre $ 4 $ : il existe $ 880 $ carrés magiques distincts (hors symétries)

Pour des ordres plus grands, le nombre croît extrêmement rapidement et devient difficile à calculer.

Un carré panmagique, également appelé carré pandiagonal ou carré diabolique, est un type spécial de carré magique. À la différence des carrés magiques traditionnels, où seules les lignes, les colonnes et les diagonales principales ont des sommes égales, un carré panmagique possède une propriété supplémentaire : les sommes des chiffres le long de toutes ses diagonales (y compris les diagonales secondaires) sont également égales à la somme magique.

Oui, il existe des cubes magiques, leur valeur magique est $$ M = n(n^3+1)/2 $$ (qui peuvent, ou non, avoir les diagonales magiques)

Le carré de Franklin, publié en 1769 par Benjamin Franklin, est un carré semi-panmagique ayant une constante magique 260

Il s'agit d'un carré magique de 3x3 utilisé en Feng Shui qui est représenté ainsi

Le carré magique de Kaldor est un carré utilisé en économie, qui n'a rien à voir avec des chiffres ou des nombres de mathématiques mais plutôt avec des concepts de politique économique.