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Décomposition en Nombres Premiers

Outil pour décomposer en facteurs premiers. En mathématiques, la décomposition en produit de facteurs premiers (aussi connue comme la factorisation entière en nombres premiers) consiste à écrire un entier strictement positif sous forme d'un produit de nombres premiers.

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Décomposition en Nombres Premiers -

Catégorie(s) : Arithmétique, Mathématiques

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Décomposition en Nombres Premiers

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Factorisation en Nombres Premiers



Factorisation d'une Fraction A/B



Outil pour décomposer en facteurs premiers. En mathématiques, la décomposition en produit de facteurs premiers (aussi connue comme la factorisation entière en nombres premiers) consiste à écrire un entier strictement positif sous forme d'un produit de nombres premiers.

Réponses aux Questions

Comment décomposer un nombre en facteur de nombres premiers ?

La décomposition en facteurs premiers d'un nombre \( N \) nécessite de tenter de diviser le nombre \( N \) par l'ensemble des facteurs premiers \( p \) qui sont inférieurs à \( N \). Si \( p \) est un diviseur de \( N \) alors on recommence en prenant \( N = N/p \) tant qu'il reste des diviseurshref premiers envisageables.

Exemple : Soit le nombre \( N = 147 \), les nombres premiers inférieurs à \( N = 147 \) sont \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... \). Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de \( 147 \), on commence par tenter la divisionhref par \( 2 \), or \( 147 \) n'est pas disible par \( 2 \). On continue avec la divisionhref par \( 3 \), or, \( 147/3 = 49 \) donc \( 147 \) est divisible par \( 3 \) et \( 3 \) est un facteur premier de \( 147 \). Dans la suite, on ne considère plus \( 147 \) mais \( 147/3 = 49 \). Les nombres premiers inférieurs à \( 49 \) sont \( 2, 3, 5, 7, 11, 13 \)... On essaie de diviser \( 49 \) par \( 2 \), etc.

Exemple : Au final, on obtient les facteurs \( 3, 7, 7 \) et on peut vérifier que \( 3 * 7 * 7 = 149 \), on peut également écrire \( 147 = 3*7^2 \).

Cette décomposition est possible quel que soit le nombre de départ, c'est un théorème fondamental de l'arithmétique.

Exemple : \( 123 = 3 * 41 \), \( 1234 = 2 * 617 \), \( 12345 = 3 * 5 * 823 \) ou encore \( 123456 = 2^6 * 3 * 643 \)

Le problème avec cette méthode (ou algorithme) est qu'il est très long lorsque les nombres sont très grands.

dCode autorise les nombres jusqu'à 100 chiffres, mais interrompra le calcul si il demande trop de ressources ou prend trop longtemps.

Quels sont les algorithmes permettant de décomposer en nombres premiers ?

Il existe les algorithmes de divisions itératives classiques, l'algorithme rho de Pollard, les courbes elliptiques ou encore l'algorithme du crible quadratique. dCode utilise une combinaisonshref de tous pour être très rapide.

Quelle est la liste des nombres premiers?

La liste de tous les nombres premiers commence par : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997... Et il y en a une infinité.

Comment démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers ?

La démonstration de l'infinité des nombres premiers est la suivante :

Soit \( P \) un nombre premier, et \( P\# \), la primoriellehref de \( P \), soit le produit \( 2*3*5*......*P \) de TOUS les nombres premiers compris entre \( 2 \) et \( P \). Soit \( Q = P\#+1 \), alors, le reste de la divisionhref de \( Q \) par n'importe quel nombre premier inférieur ou égal à \( P \) sera égal à \( 1 \). Ainsi tous les facteurs premiers de \( Q \) (\( Q \) peut être premier) sont des nombres premiers supérieurs à \( P \). Il existera donc toujours des nombres premiers supérieurs à \( P \).

Comment programmer une décomposition en nombres premiers ?

// javascript
function decomposition_nombres_premiers(n) {
if (!n || n < 2)
return [];
var f = [];
for (var i = 2; i <= n; i++){
while (n % i === 0){
f.push(i);
n /= i;
}
}
return f;
};

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Source : http://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers
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