PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de deux ou plusieurs nombres entiers non nuls.

Pour deux entiers (non nuls) $ a $ et $ b $, le PPCM est donc le plus petit nombre entier (strictement positif) qui soit à la fois multiple de $ a $ et multiple de $ b $, autrement dit le plus petit nombre divisible à la fois par $ a $ et par $ b $.

— Méthode 1 : lister tous les multiples des nombres et trouver le plus petit multiple commun.

— Méthode 2 : utiliser la décomposition en facteurs premiers. Le PPCM est la multiplication des facteurs communs par les facteurs non communs

— Méthode 3 : utiliser le PGCD et réaliser le calcul $$ \operatorname{PPCM}(a,b) = \frac{ a \times b } { \operatorname{PGCD}(a,b) } $$

Méthode 1 : lister tous les multiples des nombres et trouver le plus petit commun.

Méthode 2 : appliquer le PPCM par couples en utilisant la formule $$ \operatorname{PPCM}(a,b,c) = \operatorname{PPCM}( \operatorname{PPCM}(a,b), c) $$

Pour réduire des fractions au même dénominateur, calculer le PPCM des dénominateurs (la partie en dessous de la barre de fraction).

Les calculatrices intègrent les fonction de PPCM sous le nom de LCM (Lowest Common Multiple). Avec seulement la fonction PGCD (ou GCD), appliquer la formule :

$$ \operatorname{PPCM}(a, b) = \frac{ a \times b} { \operatorname{PGCD}(a, b) } $$

Le PPCM n'est pas défini si l'un des nombres est nul (égal à zéro), car aucun nombre ne peut être divisé par 0.

Le PPCM est défini uniquement pour des entiers. Cependant, il est possible d'utiliser cette formule : CM(a*c,b*c) = CM(a,b)*c ou CM est un commun multiple (pas forcément le plus petit) sur les nombres rationnels.

Ainsi, pour des nombres à virgule, multiplier chaque nombre par une puissance de 10 jusqu'à obtenir des entiers, calculer le PPCM, puis diviser le résultat par cette puissance.

Les nombres suivants ont la propriété d'avoir beaucoup de diviseurs, certains d'entre eux sont des nombres hautement composés (ploutons).

Pour tout couple de 2 nombres consécutifs, un est pair et l'autre est impair, donc un seul est multiple de 2. D'après la méthode de calcul du PPCM via la décomposition en facteurs premier, alors le PPCM est forcément multiple de 2 qui est un facteur non commun aux 2 nombres.

Pour tout triplet de 3 nombres consécutifs, un seul est multiple de 3. D'après la méthode de calcul du PPCM via la décomposition en facteurs premier, alors le PPCM est forcément multiple de 3 qui est un facteur non commun aux 3 nombres.

Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leut PGCD est égal à $ 1 $ et donc leur PPCM est simplement leur produit.

Le PPCM est un multiple commun à 2 nombres, qui est donc un nombre plus grand ayant pour diviseur les 2 nombres.

Le PGCD est un diviseurs communs à 2 nombres, qui est donc un nombre plus petit ayant pour multiple les 2 nombres.

Le PPCM et le PGCD sont reliés par la formule : $$ \operatorname{PPCM}(a, b) = \frac{a \times b} { \operatorname{PGCD}(a, b) } $$

Le PPCM est un nombre qui est multiple de plusieurs nombres, et c'est le plus petit possible. Ceci lui confère beaucoup d'avantage mathématiques et simplifie les calculs.