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Indicatrice d'Euler

Outil pour calculer Phi : l'indicatrice d'Euler. L'indicatrice d'Euler φ(n) est un nombre qui représente le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n.

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Indicatrice d'Euler -

Catégorie(s) : Mathématiques,Arithmétique

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Indicatrice d'Euler

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Calcul de l'indicatrice d'Euler


Afficher la liste des nombres premiers avec N

Outil pour calculer Phi : l'indicatrice d'Euler. L'indicatrice d'Euler φ(n) est un nombre qui représente le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n.

Réponses aux Questions

Comment calculer phi(n) (l'indicatrice d'Euler) ?

Pour calculer la valeur de l'indicatrice d'Euler, on réalise une décomposition en facteurs premiershref de n. $$ n=\prod_{i=1}^rp_i^{k_i} $$

Avec \( p_i \) les facteurs premiershref et \( k_i \) leur nombre d'apparition dans la décomposition.

On peut ensuite appliquer la formule :

$$ \varphi(n)=\prod_{i=1}^r(p_i-1)p_i^{k_i-1}=n\prod_{i=1}^r\left(1-\frac1{p_i}\right) $$

A quoi sert l'indicatrice d'Euler ?

L'indicatrice d'Euler est utilisée en arithmétique modulaire. Elle est notamment utilisée dans le Théorème d'Euler :

Soit \( n \) est un entier supérieur à 1 et \( a \) un entier premier avechref \( n \), alors $$ a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n $$

n=7, a=3 et phi(7) = 6 alors 3^6 = 729 = 1 modulo 7href

Ce théorème est d'ailleurs la base du chiffrement RSA.

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