Fractions Continues

Une fraction continuée est une écriture d'un nombre sous la forme d'une fraction imbriquée, construite a partir d'entiers.

Elle s'écrit sous la forme générale : $$ a_0 + \cfrac{1}{ a_1 + \cfrac{1}{ a_2 + \cfrac{1}{ a_3 + \cdots}}} $$

ou, de manière abrégée : $ [ a_0;a_1;a_2;a_3;\dots ] $

Le coefficient $ a_0 $ est un entier relatif, et les coefficients suivants $ a_1, a_2, \ldots $ sont des entiers strictement positifs.

Une fraction continuée est dite finie lorsque le développement s'arrête apres un nombre fini d'étapes. Elle représente alors exactement un nombre rationnel.

Une fraction continuée est dite infinie lorsque le développement se poursuit indéfiniment. Elle représente alors un nombre irrationnel.

Le principe de développement en fraction continuée repose sur l'algorithme d'Euclide de division euclidienne, comme pour le calcul du PGCD.

Chaque quotient obtenu correspond a un coefficient de la fraction continue.

Les convergents d'une fraction continuée sont les fractions rationnelles obtenues en tronquant successivement son développement.

Pour une fraction continuée $ [ a_0;a_1;a_2;a_3;\dots ] $ le nième convergent est $ [ a_0;a_1;a_2;\dots;a_n ] $

Les convergents fournisent les meilleures approximations rationnelles du nombre représenté.

Calculer une valeur approchée de la racine (appromimation la plus précise possible) et dCode fournira la fraction continue correspondante.

La manière recommandée est d'utiliser cfrac : $$ e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cdots}}}}}}}} $$

Mais la manière courte, appellée abrégée, s'écrit $$ e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \cdots] $$

Les fractions continues les plus connues sont :

— Racine de 2 : $ \sqrt{2} = [1;2,2,2,2,2,\cdots] $

— Nombre d'or $ \Phi = [1;1,1,1,1,1,\cdots] $

Fraction continue est le terme le plus utilisée, d'où le nom de cette page, et fraction continuée est souvent considéré comme un anglicisme (continued fraction).

Cependant, ces fractions sont des continuations à l'infini de fractions, elles sont sans vrai rapport avec la notion mathématique de continuité. Le terme le plus exact mathématiquement serait donc fractions continuées et non pas fractions continues. (Merci JMV)