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Conjecture de Pólya

Outil algorithmique pour infirmer la conjecture de Polya. La conjecture de Polya propose que le la majorité des nombres de facteurs premiers des nombres inférieurs à un entier précis est impaire.

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Conjecture de Pólya -

Catégorie(s) : Mathématiques, Algorithme

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Conjecture de Pólya

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Enoncé de la Conjecture

En théorie des nombres, la conjecture de Pólya, proposée par le mathématicien hongrois George Pólya en 1919, stipule que pour tout entier N, si on effectue la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels inférieurs à N, alors il y a d'avantage de décompositions avec un nombre impair de facteurs que de décompositions avec un nombre pair de facteurs.

Cette conjecture est fausse, le premier contre-exemple est N = 906150257.

Outil algorithmique pour infirmer la conjecture de Polya. La conjecture de Polya propose que le la majorité des nombres de facteurs premiers des nombres inférieurs à un entier précis est impaire.

Réponses aux Questions

Comment prouver la conjecture de Polya ?

Pour démontrer qu'une conjecture est vraie, il faut une démonstration mathématique rigoureuse. Pour démontrer que la conjecture est fausse, il suffit d'un contre exemple.

Exemple : N=10, on a 5 décompositions avec un nombre impair de facteurs : 8, 7, 5, 3 et 2, et 4 décompositions avec un nombre pair de facteurs : 9, 6, 4 et 1. Comme 5 > 4, la conjecture est vraie pour N = 10, mais ça ne veut pas dire qu'elle est vraie pour tout N.

Quel est le premier contre-exemple ?

La conjecture a été réfutée en 1958, elle est donc fausse. Le plus petit contre-exemple est le nombre 906150257.

Quel est l'algorithme de vérification ?

L'algorithme correspondant à la vérification de la conjecture est similaire à celui-ci : // Javascript
var pair = 1;
var impair = 0;
var d = new Array();
for (i = 2; i < 4000000000; i++) {
d = decomposition_facteurs_premiers(i); // renvoie un tableau avec tous les facteurs
if (d.length % 2) impair++;
else pair++;
if (pair > impair) {
alert(i);
break;
}

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Questions / Commentaires


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Source : http://www.dcode.fr/conjecture-polya
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