Combinaciones de K entre N

Una combinación de $ k $ entre $ n $ es el nombre que se da al número de maneras distintas de elegir $ k $ elementos de otro conjunto de $ n $ elementos (con $ n \ge k $), independientemente del orden.

La combinación se denota $ C_n^k $ o $ \binom{n}{k} $.

El generador permite elegir los valores de $ k $ y $ n $, y genera listas de posibles combinaciones correspondientes con números o letras (o una lista personalizada).

La generación está limitada a unos pocos miles de combinaciones. Dado que el álgebra combinatoria puede introducir números muy grandes, este límite ayuda a evitar la sobrecarga del servidor.

Para generar listas grandes, dCode ofrece servicios bajo petición.

El cálculo a realizar utiliza la distribución binomial y el siguiente coeficiente binomial: $$ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Las combinaciones utilizan cálculos factoriales (¡el signo de exclamación!).

El principio de las combinaciones consiste en ignorar la noción de orden (1,2) = (2,1). Utilizar permutaciones para obtener posibles combinaciones ordenadas.

dCode ofrece una herramienta dedicada para combinaciones con repeticiones.

Para calcular las probabilidades de ganar en juegos de azar como la lotería, las combinaciones son la herramienta más adecuada.

Para ganar la lotería francesa, antes de 2008, el sorteo consistía en extraer 6 bolas de 49.

Para ganar la lotería francesa, después de 2008, el sorteo consiste en extraer 5 bolas de 49 y luego 1 bola de 10.

Para ganar EuroDreams, se sortean 6 números del 40 y 1 número del 5.

Si $ k = 0 $, se solicitan 0 elementos y hay un único resultado vacío. Por lo tanto, $$ \binom{n}{0} = 1 $$

Si $ n = 0 $, entonces hay 0 elementos; es imposible tomar $ k $, por lo que no hay resultados. Por lo tanto, $$ \binom{0}{k} = 0 $$

Por convención, 0 entre 0 vale 1: $$ \binom{0}{0} = 1 $$

Para contar combinaciones: // Python
def count_combinations(n, k):
if k > n - k:
k = n - k
result = 1
for i in range(1, k + 1):
result = result * (n - i + 1) // i
return result


Para listar las combinaciones: // Python
def combinations(n, k):
result = []
combo = list(range(k))
while True:
result.append(combo[:])
i = k - 1
while i >= 0 and combo[i] == n - k + i:
i -= 1
if i < 0:
break
combo[i] += 1
for j in range(i + 1, k):
combo[j] = combo[j - 1] + 1
return result
// JavaScript
function combinations(a) { // a = new Array(1,2)
var fn = function(n, src, got, all) {
if (n == 0) {
if (got.length > 0) {
all[all.length] = got;
}
return;
}
for (var j = 0; j < src.length; j++) {
fn(n - 1, src.slice(j + 1), got.concat([src[j]]), all);
}
return;
}
var all = [];
for (var i=0; i < a.length; i++) {
fn(i, a, [], all);
}
all.push(a);
return all;
}