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Triangle

En géométrie, un triangle est une figure du plan, composée de 3 points (les sommets) reliés par 3 segments (les côtés).

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Triangle

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Inconnues dans le triangle

Connaissant 3 cotés

On considère que l'on connait les trois cotés \( a \), \( b \) et \( c \)

Angles : $$ \alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) $$ $$ \beta = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right) $$ $$ \gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) $$ Aire : $$ \mathcal{A} = \frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)} $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = a+b+c $$

Connaissant 1 angle et les 2 cotés adjacents

On considère que l'on connait l'angle \( \gamma \) et les cotés \( a \) et \( b \)

Le dernier coté : $$ c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma} $$ Les 2 autres angles : $$ \alpha = \frac\pi2 - \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right) $$ $$ \beta = \frac\pi2 - \frac\gamma2 - \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right) $$ Aire : $$ \mathcal{A} = \frac12 ab\sin\gamma $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma} $$

Connaissant 1 angle, le côté opposé et 1 côté adjacent

On considère que l'on connait l'angle \( \beta \), le coté adjacent \( c \) et le coté opposé \( b \)

Le dernier coté : $$ a = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta $$ Si \( \beta \) est aigu et que \( b < c \) : $$ a = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta} $$ Les 2 autres angles : $$ \alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$ $$ \gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$ Si \( \beta \) est aigu et que \( b < c \) : $$ \gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$ $$ \alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$ Aire : $$ \mathcal{A} = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta $$ Si \( \beta \) est aigu et que \( b < c \) : $$ \mathcal{A} = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta+b+c $$ Si \( \beta \) est aigu et que \( b < c \) : $$ \mathcal{P} = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+b+c $$

Connaissant 2 angles, et le côté commun

On considère que l'on connait les angles \( \alpha \) et \( \beta \) ainsi que le coté commun \( c \)

Les deux autres cotés : $$ a = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} $$ $$ b = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)} $$ Le dernier angle : $$ \gamma = \pi-\alpha-\beta\ $$ Aire : $$ \mathcal{A} = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = \frac {c ( \sin\alpha + \sin\beta )}{ \sin(\alpha+\beta)} + c $$

Connaissant 2 angles, et un côté non commun

On considère que l'on connait les angles \( \alpha \) et \( \beta \) ainsi que le coté non commun \( a \)

Les deux autres cotés : $$ b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} $$ $$ c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} $$ Le dernier angle : $$ \gamma = \pi-\alpha-\beta $$ Aire : $$ \mathcal{A} = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha} $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = a + \frac{a(\sin\beta+sin(\alpha+\beta))}{\sin\alpha} $$

Connaissant l'aire, 1 angle et un coté adjacent

On considère que l'on connait l'aire \( \mathcal{A} \), l'angle \( \gamma \) et le coté adjacent \( a \)

Les deux autres cotés : $$ b = \frac{2\mathcal{A}}{a\sin\gamma} $$ $$ c = \frac{1}{a} \sqrt{a^2-\frac{4 \mathcal{A}}{\tan{\gamma}}+\frac{4 \mathcal{A}^2}{a^2\sin{\gamma}^2}} $$ Les deux autres angles : $$ \alpha = \frac{1}{2} \left(\pi -\gamma +2 \arctan{\frac{a-\frac{2 \mathcal{A}}{a \sin\gamma}}{\left(a+\frac{2 \mathcal{A}}{a\sin\gamma}\right)\tan{\frac{\gamma}{2}}}}\right) $$ $$ \beta = \frac{1}{2} \left(\pi -\gamma -2 \arctan{\frac{a-\frac{2 \mathcal{A}}{a \sin\gamma}}{\left(a+\frac{2 \mathcal{A}}{a\sin\gamma}\right)\tan{\frac{\gamma}{2}}}}\right) $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = \frac{1}{a} \left( a^2 + \frac{2\mathcal{A}}{\sin\gamma} + \sqrt{a^2-\frac{4 \mathcal{A}}{\tan{\gamma}}+\frac{4 \mathcal{A}^2}{a^2\sin\gamma^2}} \right) $$

Connaissant l'aire, 1 angle et le coté opposé

On considère que l'on connait l'aire \( \mathcal{A} \), l'angle \( \alpha \) et le coté opposé \( a \)

Les deux autres cotés : $$ b = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} $$ $$ c = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} $$ Les deux autres angles : $$ \beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}\mathcal{A}}{a\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}}}\right) $$ $$ \gamma = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}\mathcal{A}}{a\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}}}\right) $$ Périmètre : $$ \mathcal{P} = a+\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} +\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} \right) $$

Connaissant l'aire et 2 cotés

On considère que l'on connait les cotés \( b \) et \( c \) ainsi que l'aire \( \mathcal{A} \)

Le dernier coté : $$a = \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}$$ Les trois angles : $$\alpha = \arccos\left(-\frac{\sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}{b c}\right)$$ $$\beta = \arccos\left(\frac{2 c^2+2 \sqrt{2+b^2 c^2-4 \mathcal{A}}}{2 c \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}}\right)$$ $$\gamma = \arccos\left(\frac{2 b^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}}}{2 b \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}}\right)$$ Le périmètre : $$ \mathcal{P} = \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}} + b + c $$

Triangle isocèle

Les relations qui suivent ne sont valables que dans un triangle isocèle en A :
Les 2 cotés formant l'angle \( \alpha \) sont égaux $$ b = c $$ Les 2 angles adjacent au troisième coté \( a \) sont égaux $$ \beta = \gamma $$

Triangle rectangle

Les relations qui suivent ne sont valables que dans un triangle rectangle en C :
L'angle \( \gamma \) est droit $$ \gamma = 90° = \frac\pi2 $$ La somme des 2 autres angles fait 90° $$ \alpha + \beta = 90° = \frac\pi2 $$ Le théorème de Pythagore s'applique $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ L'aire du triangle se calcule simplement avec $$ \mathcal{A} = \frac{ab}{2} $$

Triangle équilatéral

Les relations qui suivent ne sont valables que dans un triangle équilatéral :
Les 3 cotés sont égaux $$ a = b = c $$ Les 3 angles sont égaux à 60° $$ \alpha = \beta = \gamma = 60° = \frac\pi3 $$ Le périmètre est simple à calculer $$ \mathcal{P} = 3a = 3b = 3c $$

Code source

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