Cuadrado Mágico

Un cuadrado mágico es una cuadrícula cuadrada de números distintos, generalmente enteros, dispuestos de modo que la suma de cada fila, cada columna y de las dos diagonales principales sea idéntica.

Este valor común se llama suma mágica (o constante mágica).

En el caso de un cuadrado mágico estándar que contiene los enteros de $ 1 $ a $ n^2 $, la constante mágica es $ M = \frac{n(n^2+1)}{2} $.

Crear un cuadrado mágico consiste en organizar números en una cuadrícula cuadrada de tamaño $ n \times n $ de modo que se respete la restricción de suma mágica en cada fila, columna y diagonal.

Los métodos de construcción dependen de la paridad de $ n $:

— si $ n $ es impar: usar un método como el de Loubère

— si $ n $ es divisible por $ 4 $ (orden doblemente par): usar métodos por simetría

— en otro caso (orden simplemente par): usar métodos híbridos basados en subcuadrados

Para un cuadrado mágico de orden impar (3x3, 5x5, 7x7, …), el método más clásico es el de Loubère (o método de la escalera):

— Colocar el número $ 1 $ en el centro de la primera fila.

— Colocar cada número siguiente en la casilla situada en diagonal arriba a la derecha.

— Si esta posición sale del cuadrado, reaparecer por el lado opuesto.

— Si la casilla ya está ocupada, colocar el número directamente debajo de la última posición llena.

Para un cuadrado mágico de orden doblemente par (4x4, 8x8, …), un método común es el de las diagonales cruzadas:

— Rellenar todas las casillas del cuadrado con los números de $ 1 $ a $ n^2 $ en orden creciente, de izquierda a derecha y de arriba abajo.

— Dividir el cuadrado en subcuadrados de $ 4 \times 4 $ y trazar las dos diagonales principales de cada uno de estos subcuadrados.

— Conservar los números que se encuentran en estas diagonales en su posición inicial.

— Reemplazar todos los demás números (los que no están en una diagonal) por su complemento a $ n^2 + 1 $ (es decir, contando hacia atrás desde $ n^2 $).

Para un cuadrado mágico de orden simplemente par (6x6, 10x10, …), el método de Strachey es el más clásico:

— Dividir el cuadrado en cuatro subcuadrados de tamaño igual (denotados A arriba a la izquierda, B abajo a la derecha, C arriba a la derecha y D abajo a la izquierda).

— Rellenar cada subcuadrado como un cuadrado mágico de orden impar (mediante el método de la escalera), usando el primer cuarto de los números para A, el segundo para B, el tercero para C y el último para D.

— Intercambiar ciertas casillas del lado izquierdo entre los cuadrantes A y D, procurando desplazar el intercambio una casilla en la fila central del subcuadrado.

— Intercambiar un número específico de columnas del lado derecho entre los cuadrantes C y B para equilibrar perfectamente las sumas del conjunto.

Resolver un cuadrado mágico consiste en determinar los valores faltantes respetando las restricciones de suma. Un enfoque consiste en introducir incógnitas y escribir las ecuaciones asociadas a las filas, columnas y diagonales de la matriz obtenida.

Las soluciones deben ser valores distintos y, la mayoría de las veces, enteros positivos.

Para un cuadrado mágico que contiene los enteros de $ 1 $ a $ n^2 $, la suma mágica está fijada y es mínima: $ M = \frac{n(n^2+1)}{2} $

Cualquier intento de obtener una suma menor implica el uso de números negativos o no enteros.

No existe un valor máximo para la suma mágica si los números utilizados no están restringidos.

En efecto, al multiplicar todos los elementos de un cuadrado mágico por una constante $ k $, la suma mágica se multiplica por $ k $.

Así, la suma/valor mágico máximo es infinito.

El número de cuadrados mágicos depende del orden $ n $.

— orden $ 3 $ : existe $ 1 $ cuadrado mágico fundamental (y $ 8 $ con rotaciones y simetrías)

— orden $ 4 $ : existen $ 880 $ cuadrados mágicos distintos (sin simetrías)

Para órdenes mayores, el número crece extremadamente rápido y se vuelve difícil de calcular.

Un cuadrado panmágico, también llamado cuadrado pandiagonal o cuadrado diabólico, es un tipo especial de cuadrado mágico. A diferencia de los cuadrados mágicos tradicionales, donde solo las filas, las columnas y las diagonales principales tienen sumas iguales, un cuadrado panmágico posee una propiedad adicional: las sumas de los números a lo largo de todas sus diagonales (incluidas las diagonales secundarias) también son iguales a la suma mágica.

Sí, existen cubos mágicos, su valor mágico es $$ M = n(n^3+1)/2 $$ (que pueden, o no, tener las diagonales mágicas)

El cuadrado de Franklin, publicado en 1769 por Benjamin Franklin, es un cuadrado semipanmágico con una constante mágica de 260

Se trata de un cuadrado mágico de 3x3 utilizado en Feng Shui que se representa así

El cuadrado mágico de Kaldor es un cuadrado utilizado en economía, que no tiene nada que ver con cifras o números matemáticos sino más bien con conceptos de política económica.