Flèches de Knuth

Les flèches de Knuth (ou opérateurs fléchés de Knuth) sont un ensemble de symboles mathématiques dédié à la représentation d'exponentiation répétées (puissances itérées ou tétration).

$$ a \uparrow ^ n b = \begin{cases} a^b & n=1 \\ 1 & n > 1 \ \& \ b = 0 \\ a \uparrow ^ {n-1} (a \uparrow ^{n} (b-1)) & \end{cases} $$

Au même type que la multiplication est la répétition d'additions ($ 2 \times 3 = 2+2+2 $), au même type que l'exponentiation est la répétition de multiplications ($ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 $), les flèches de Knuth est la répétition d'exponentiations (aussi appelé exponentiation itérée ou tétration).

La notation de Knuth avec une seule flèche, représente une puissance unique (une flèche seule représente une exponentiation)

La notation de Knuth avec 2 flèches vers le haut est une puissance itérée

$$ a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{b} $$

Remarque,

$$ a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a}_{b} $$

La notation avec 1 flèche représente une exponentiation simple (une puissance, un exposant).

La notation avec 3 flèche (triple flèche) est la continuité de la notation avec 2 flèches (double flèche)

$$ a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}_{b} $$

Non, la tétration n'est définie que pour des nombres entiers.

Inutile d'essayer avec des nombres décimaux, la virgule sera ignorée.

Les flèches de Knuth permettent de représenter des nombres tellement grands que les notations habituelles ne permettent pas de les écrire en chiffres facilement ou avec précision.

Les flèches de Knuth sont généralement implémentées par récursion en code :

// pseudo-code
function knuthArrows(a, n, b) {
if (b == 0) return 1
if (n == 1) return a ** b
return knuthArrows(a, n-1, knuthArrows(a, n, b - 1))
}