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Probabilité d'anniversaires

Le calcul des probabilités des anniversaires est célèbre car il n'est pas aussi simple qu'on le croit et surtout les résultats ne sont pas intuitifs.
Il permet de répondre à la question : combien de personnes doit-on réunir pour avoir une chance sur deux que 2 personnes aient une même date d'anniversaire.

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Probabilité d'anniversaires

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Calculer la probabilité que parmi N personnes, 2 aient un anniversaire en commun

Calculer la probabilité que parmi N personnes, 2 soient nés une date donnée

Dans les calculs, nous supposerons, sauf indication contraire, que les naissances sont réparties de manière aléatoire sur une année et qu'une année a 365 jours.

Quelle est la probabilité qu'une personne soit née un certain jour de l'année ?

1/365 = 0,0027 = 0.27% : en effet il y a une chance sur 365 d'être né un jour précis.

Quelle est la probabilité qu'une personne soit née un jour différent du mien ?

364/365 = 0,9973 = 99.73% : il doit être né un jour différent du votre, il y a donc 364 possibilités sur 365 au total.

Quelle est la probabilité qu'une personne soit née le même jour que moi ?

Ce calcul revient à poser la question Quelle est la probabilité qu'une personne soit née un certain jour de l'année ? on peut aussi effectuer le calcul ainsi : la probabilité qu'une personne soit née le même jour que moi, c'est 100% moins la probabilité que cette personne ait sont anniversaire un jour différent.
Soit : 1 - 364/365 = 0,0027 = 0.27%

Quelle est la probabilité que 2 personnes parmi N soient nées le même jour ?

N = 2, P = 1 - (364/365) = 0,0027 = 0.27%
N = 3, P = 1 - (364/365) * (363/365) = 0,0082 = 0.82%
N = 4, P = 1 - (364/365) * (363/365) * (362/365) = 0,0164 = 1.64%
N = 5, P = 1 - (364/365) * (363/365) * (362/365) * (361/365) = 0,0271 = 2.71%
...

Quelle est la probabilité que parmi 23 personnes, 2 partagent une même date d'anniversaire ?

0.5 (une chance sur 2)

Combien faut-il de personnes pour être certain que 2 soient nées un même jour ?

Il en faut 367 (les 366 possibilités pour une année bissextile, plus une personne qui garanti d'obtenir à coup sûr un couple de deux personnes nées le même jour de l'année.

Combien de personnes faut-il pour que la probabilité que 2 personnes soient née un certain jour de l'année soit supérieur à 50% ?

A date donnée, il faut 253 personnes pour que la probabilité que 2 soient nées un jour précis, soit de 1/2.

Quelle est la probabilité que 2 personnes parmi N soient nées un certain jour de l'année ?

P = 1 - (364/365)^(N-1).
N = 2; P = 1 - (364/365) = 0,0027 = 0.27%
N = 3; P = 1 - (364/365)^2 = 0,0055 = 0.55%
N = 6; P = 1 - (364/365)^5 = 0,0136 = 1.36%

Quelle est la probabilité que N personnes ne soient pas nées un certain jour de l'année ?

P = (364/365)^N.

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